Вопрос о равномощности множеств чисел напрямую связан с понятием кардинальности — размерности множества в теории множеств. Множества четных и нечетных чисел содержат бесконечное количество элементов, но это не препятствует их равной мощности.
Чтобы показать, что два бесконечных множества равномощны, достаточно определить биективное (взаимно однозначное) соответствие между этими множествами. Для множеств четных $E = {2n \mid n \in \mathbb{Z}}$ и нечетных $O = {2n + 1 \mid n \in \mathbb{Z}}$ чисел таким соответствием будет простое отображение:
- Четные числа отображаются на все целые числа $n$, давая $f(n) = 2n$;
- Нечетные числа - на все те же целые числа $n$, давая $g(n) = 2n + 1$.
Каждое целое число соответствует единственному четному или нечетному числу, и наоборот, каждый четный или нечетный элемент может быть представлен целым числом. Таким образом, существует биекция между двумя этими множествами, что доказывает их равномощность.
Тот факт, что оба множества бесконечны, не означает, что они имеют разную кардинальность. В математике множество называется счётно бесконечным, если оно равномощно множеству всех целых чисел.
Таким образом, множества всех четных и всех нечетных чисел являются счётными и равномощными.
Категория: Математика
Теги: теория множеств, кардинальность, бесконечные множества