Чтобы определить количество нулей в конце произведения натуральных чисел от 1 до 100, нужно разобраться с факториальным произведением $100!$, то есть $100 \times 99 \times 98 \times \ldots \times 1$.
Количество нулей в конце числа равно количеству пар множителей 10, а число 10 представляется в виде $2 \times 5$. Поэтому нам нужно выяснить, сколько пар таких множителей мы можем выделить из всего произведения. В формуле $10 = 2 \times 5$, ограничивающим фактором является количество пятёрок, так как двойки встречаются чаще.
Чтобы найти количество пятёрок в разложении на простые множители чисел от 1 до 100, используется следующая формула для определения степени простого числа $p$ в разложении на множители числа $n!$:
$$ \text{Степень } p \text{ в } n! = \left\lfloor \frac{n}{p} \right\rfloor + \left\lfloor \frac{n}{p2} \right\rfloor + \left\lfloor \frac{n}{p3} \right\rfloor + \cdots $$
В нашем случае $p=5$ и $n=100$:
- ( \left\lfloor \frac{100}{5} \right\rfloor = 20 )
- ( \left\lfloor \frac{100}{25} \right\rfloor = 4 )
- ( \left\lfloor \frac{100}{125} \right\rfloor = 0 )
Итак, сумма равна $20 + 4 + 0 = 24$. Таким образом, в конце числа $100!$ будет 24 нуля.
Категория: Математика
Теги: факториал, натуральные числа, разложение на множители